教育资讯基础阶段夯实基础,考研高等数学复习

日期:2019-05-17编辑作者:教育资讯

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全国考研数学命题组成员、北京大学数学科学研究院教授刘西垣老师从下面几个方面探讨了“考研高等数学复习技巧”,为考研的同学提供了方向。

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高等数学应该怎样复习?

  古人云:知己知彼,百战不殆。考研[微博]也是一样的,要想考一个好成绩,就必须了解所考科目的要求、范围,对症下药,药到病除。在这里,跨考教育[微博]数学教研室佟庆英老师解和大家聊聊公共课中数学考试需要大家注意的几个词。

  纵观2015年研究生入学考试题目竟然高达90%的题目都是基础题,可以说只要掌握基础的解题技巧、解题方法,今年的考试拿到120分应该不成问题。现在大部分考生都是在校生,所以这个寒假也是一个前期复习的最佳时机。同时,很多同学对现在基础阶段数学该如何复习,高数该从哪里入手学习之类的问题较为迷茫,跨考教育[微博]数学教研室赵睿老师认为,在基础阶段的复习中,不管哪一科,唯一的目标就是打牢基础,关于高等数学复习给同学们以下参考意见。

刘教授认为,高等数学的复习最重要的是平时多加训练,每天至少保证三个小时的复习时间,并且坚持到底,这是数学成绩提高的前提条件。高等数学考查还是以考查考生的基本知识和基本技能为住,考卷中偏题和怪题不是很多,所以考生先要从基础学起,先把教材中的一些概念、定理、公式复习好,牢牢地记住,并在此基础上选择一些题目进行强化。如果基础不是非常好,我建议暑期或者秋季报个考研辅导班,在老师的带领下将所学的知识进一步强化巩固。

  同学们首先要看看往年,最好是去年的考研数学大[微博]纲,那上面详细的介绍了数学一、数学二和数学三考试的范围,对照范围,先把自己不考的划掉,减轻自己的负担,为其他科目争取更多的复习时间,除此之外,还需要同学们注意下面几个词,这几个词是数学考试大纲中经常出现的,要多加留心。

  一、考研[微博]高等数学复习计划及资料选择

数学考试大纲中有一些新增加的知识点,这些新增加的知识点该怎么复习?要重点复习吗?

  了解:凡是要求了解的知识点,则要求对该知识点的含义知识得很清楚。一般指的是定义、概念、定理、推论等知识内容。比如:了解二重积分的性质,了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等。且不能只是对了解的知识点不加重视,停留在对定义、定理、公式的条件和结论的记住,不对这些知识点作进一步的推导。

  高等数学这门课在数学一和数学三中占56%,在数学二中比例高达78%,因此高数在考研中的重要性是不言而喻。那么一本靠谱的基础阶段复习资料就是很重要的。首先,高等教育出版社的《数学考试大纲》或者《大纲解析》是必要的。因为考生必须要明确目标,包括考试的范围,考试的难度,这样才能做到有的放矢。

刘教授指出,对于数学考试大纲中新增加的知识点,一般只会考查最基本的内容,不会出现难题,所以只要掌握新增加的知识点的主要内容、基本概念、基本计算方法就可以了。一般情况下,如果增加一个章节,考试中肯定会涉及,如果只是增加一个小小的知识点,则不一定考。

  理解:凡要求理解的知识点,则要求懂得该知识点且认识的很清楚,主要是指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系的理解。这里要注意了解和理解之间的区别,了解偏重于知道,理解是在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次意思,从表层到深层次的递进含义。

  其次,就是高数的复习资料。在本阶段,我们只需要准备一套高等数学的教材及习题解答即可。这个教材普遍使用的是同济六版的《高等数学》,此书定理证明,例题思路都非常清楚,而且课后习题也很有层次,有些是可以经过改动直接放到考试真题中的。

高等数学如何复习才有可能获得高分?

  会:是要会求,会计算,会建立,会应用、会判断等。要求考生为理解、懂得,并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。在大纲中对知识点要求会球、会计算、会建立方程表达式、会描绘等,主要是指计算方法、知识的灵活运用层次的要求;学习时不仅要记住、理解定理还要推导,才达到会求解的程度。

  因为高数的难度以及繁多的内容,要求我们数学备考一定要有一个复习时间表,也就是要有一个周密可行的计划。按照计划,循序渐进,切忌搞突击,临时抱佛脚。

刘教授说,首先是按照大纲对数学的基本概念、基本方法和基本定理准确把握。如果对数学中的基本概念、方法和原理不清楚,解题时肯定会碰到各种各样的问题,容易丢失一些基本分。其次是提高解题能力,尤其是解综合性试题和应用题能力。复习时考生要搞清有关知识的纵向、横向联系,形成一个有机的体系。解应用题一般是在理解题意的基础上建立数学模型,这种题目现在每年都考,考生需要平时进行强化训练。最后是重视历年试卷。高等数学部分试题重复率还是比较高的,历年试卷更能反映出考研数学的出题思路和出题重点,通过对考研试题的类型、特点、思路进行系统的归纳总结,并做一定数量习题,才能提高复习效率和解题能力

  掌握:凡是要求掌握的,则要求对该知识点了解、熟知并能加以运用,这是大纲中最高的要求。要求掌握的知识点都是历年考试所涉及的内容,希望考生注意这一点。

  以下是对高等数学的复习计划。

每年的数学考试大纲变化不是太大,这样是不是就不用购买新大纲了,拿着06年的考试大纲复习就行了?

  考研不是期中或期末考试,内容简单,范围小,它需要长期的复习,认真地复习,每一个都复习到了,不要认为历年没有考,今年就不会考,把宝押在侥幸上可不是明智的选择,凡是就怕一个“认真”,只要你认真,就没有办不成的事,即使事与愿违,也问心无愧。

  第一章 函数与极限(10天)

刘教授指出,数学的复习最好参考最新的考试大纲复习,在新大纲公布之前,可以参照06年的考试大纲进行复习。《数学考试大纲》每年都会制定一次,大纲对考试的内容和要求都做了明确的规定,大纲是考试出题的依据,凡大纲中出现的知识点都要认真复习,凡大纲中没有出现的知识点,不管来自什么教材,考生都不需要看。大纲也不一定非要购买,很多网站都可以免费下载到。

  微积分中研究的对象是函数。函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。极限是微积分的理论基础,研究函数实质上是研究各种类型极限。无穷小就是极限为零的变量,极限方法的重要部分是无穷小分析,或说无穷小阶的估计与分析。我们研究的对象是连续函数或除若干点外是连续的函数。

高等数学的复习是在掌握基本概念和公式的基础上,适当做一些题就可以了吗?考研数学不会很难吧?

  第二章:导数与微分(7天)

刘教授提示道,先回答第二个问题,考研数学一般要比期末考试稍难一些,因为考研毕竟是一个选拔性考试,但也不是非常难,所以不要有太大的顾虑,好好复习一定会考好的。要想在数学考试中取得好成绩,一定要做一定数量的题目,通过做题才能更准确、更熟练的一些公式、结论的用法,并且题目做的多了,才有可能在考场上迅速形成做题思路。另外,题目做的多了,才有可能提高解题速率和正确率。选择题和填空题在数学考卷中所占的比重很大,这些题目的解答往往会“一失足成千古恨”,稍不留神,一步做错就全军覆没。不能说只要考场上认真,仔细地做题就不会有“会做但做错”的情况出现,其实有些看似由于粗心引起的错误是由于考生之前没有碰到过这种错误,考生时大脑中意识不到要注意这些问题,所以这种错误是不能仅仅认真、仔细就可以避免得了的。

  一元函数的导数是一类特殊的函数极限,在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率,在力学上路程函数的导数就是速度,导数有鲜明的力学意义和几何意义以及物理意义。函数的可微性是函数增量和自变量增量之间关系的另一种表达形式。函数微分是函数增量的线性主要部分。

考研中的高等数学主要包括哪些内容?

  第三章:微分中值定理与导数的应用(8天)

刘教授总结说,考研中的高等数学包括以下八章内容:1、函数、极限、连续;2、一元函数微分学;3、一元函数积分学;4、向量代数和空间解析几何;5、多元函数微分学;6、多元函数积分学;7、无穷级数;8、常微分方程。每一章又有若干知识点,比如函数、极限与连续部分主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根等。考生可以等07年考试大纲下来后查一下具体考试内容。

  连续函数是我们研究的基本对象,函数的许多其他性质都和连续性有关。在理解有关定理的基础上可以利用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、拐点,并体现在作图上。微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。

想报一个数学辅导班,上辅导班需要准备什么吗?

  第四章:不定积分(7天)

刘教授谈到,辅导班一般可分为两种,即在短时间内集中授课的辅导班以及在较长的时间内每隔几天(通常为一周)上一次课的辅导班。短期内集中授课的强化班,由于课时安排比较紧凑,一下子灌输很多的知识给考生。所以考生一定要在上辅导班前完成第一阶段对基础知识的识记和理解,并争取能完成第二阶段的巩固和掌握。这样才能及时的消化每天所讲授的内容,始终保持复习的步调走在老师的前面,而不是被老师牵着被动复习。而对间隔时间较长的辅导班,考生有足够的时间来消化知识,但是这样上课的不足之处就是容易遗忘以前上课的内容,不会像强化班那样在短期内就会有很大的提高,所以及时地对以前地知识进行复习是非常重要的。

  积分学是微积分的主要部分之一。函数积分学包括不定积分和定积分两部分。在积分的计算中,分项积分法,分段积分法,换元积分法和分部积分法是最基本的方法。

  第五章: 定积分(8天)

  定积分是微积分七大积分的基础,要理解微元法,理解以“以常代变”的这种思想。定积分的计算公式“牛顿-莱布尼兹”是我们微积分的核心,要会证明。

  第六章:定积分的应用(5天)

  定积分的几何应用,是所有同学都需掌握的;物理应用数三的同学不需掌握。

  第七章:空间解析几何(3天)

  本章主要理解向量之间的关系,会写平面、直线、二次曲面的方程,为后面重积分做准备。

  第八章:多元函数微分法及其应用 (7天)

  在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用,主要是二元函数的偏导数、全微分等概念,掌握计算不同函数的各种方法及应用中的会求条件或无条件极值。

  第九章:重积分(7天)

  在一元函数积分学中,定积分是某种确定形式的和的极限,这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形,便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念,本章主要介绍重积分(包括曲线曲面积分)的概念、计算方法以及它们的一些应用,重点是会计算。

  第十一章:无穷级数(7天)

  这一部分和之前的知识联系不那么紧密,是从思维方式上的一个改变。本章学习的时候一定要分类总结,对于数项级数,分清不同的级数适用的判定方法;对于函数项级数,会求和函数、收敛域。

  第十二章 常微分方程 (9天)

  常微分方程的研究对象就是常微分方程解的性质与求法,本章主要有两个问题,一是根据实际问题和所给条件建立含有自变量、未知函数及未知函数的导数的方程及相应的初始条件;二是求解方程,包括方程的通解和满足初始条件的特解。学习的切入点是,看到方程分辨出方程的类型,其次再谈它的解法,因为不同的方程解法不同。

  二、注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握

  结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、基本方法和基本定理,只有对基本概念深入理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。分析表明,考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确,基本解题方法没有掌握。因此,首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果这个基础打不牢,其他一切都是空中楼阁。

  三、教材习题要做熟

  特别提醒2016的考生,教材上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌握定理,要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结——不仅总结方法,也要总结错误。这样,作完之后才会有所收获,才能举一反三。数学考试的所有任务就是解题,而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化,但其知识结构却基本相同,题型也相对固定,一般存在相应的解题规律。通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力,做到面对任何试题都能有条不紊地分析和计算。

  考研高数中蕴含着三大运算:求极限、求导数和求积分,它们是贯穿于整个高等数学的灵魂,因此建议大家在在基础阶段集中训练这三种运算,尤其是不定积分和求极限,它们的难度比较大。对这三种运算的熟练程度直接决定了你的考研高数部分的得分。

  四、积极主动整理出笔记,从宏观上把握脉络

  注意一定要在学习过程中写出自己的感受,可以在书上以题注的形式或者就是做笔记,尽量深挖例题内涵,这一点很重要,并且要贯彻前三轮的复习,如果最后一轮复习我们有了自己整理的笔记,就会很轻松。有同学说学习线性代数最好的办法就是亲自推导,这话很有道理,事实上如果我们学习什么知识都采取这种态度的话,那肯定都会学得非常好。

  对于各科的学习,都是一个把书读薄的一个过程,数学学习更是这样。对于高等数学来说,首先明白,从横向看,就是主要包括极限、微分、积分三个方面;从纵向看,就是一元函数和多元函数之分。其次,在这个宏观下,再看每个大的模块下,有什么样的小的知识点,每个知识点又对应什么样的方法。如果在一阶基础阶段,能做到看到题目,知道考察的知识点,会例数该知识点下对应的方法,就达到这个阶段的目的了。

  总之,考研数学就是要大家踏踏实实的复习才有效果,祝大家复习顺利。

  文章来源:跨考教育

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